高中数学：多选题专项解析 (Q9-Q11)

原题展示

9. 下列结论正确的是 ( )

A. “存在一个素数不是奇数”是存在量词命题
B. $y = \frac{x^2-3x}{x-3}$ 是奇函数
C. $\frac{2x^2+1}{3x^2-x-2} > -\frac{6}{7}$ 等价于 $2x^2+1 > -\frac{6}{7}(3x^2-x-2)$
D. 集合 $\{x \in \mathbf{N}_+ \mid x \text{ 是 12 与 30 的公约数}\}$ 的真子集的个数为 15

题目 9 解析

当前页: 题目 9-11

选项 A 分析

正确

命题中含有“存在一个”等词语，属于存在量词命题。
（确实存在素数 2 不是奇数，该命题为真命题且是存在量词命题。）

选项 B 分析 (陷阱)

错误

函数化简后为 $y = x$，看似是奇函数。但必须优先考虑定义域！

原函数分母不能为 0，故 $x \ne 3$。
定义域 $\{x \mid x \ne 3\}$ 不关于原点对称（因为 -3 在定义域内，而 3 不在）。
$\therefore$ 它既不是奇函数也不是偶函数。

选项 C 分析 (陷阱)

错误

不等式两边同时乘以一个式子，只有当该式子恒为正时，不等号方向才不变。

此处 $3x^2-x-2$ 的符号未知，不能直接乘过去。若它为负，不等号需变号。故不等价。

选项 D 分析

正确

12 的约数：1, 2, 3, 4, 6, 12

30 的约数：1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

公约数集合 $M = \{1, 2, 3, 6\}$，共 4 个元素。

真子集个数 $= 2^4 - 1 = 16 - 1 = 15$。

正确答案：A, D

题目预处理

设矩形长宽分别为 $a, b$。由周长为 12 得 $2(a+b)=12 \Rightarrow \mathbf{a+b=6}$。

选项 A 分析

正确

$AB+BC = a+b = 6$。显然正确。

选项 B 分析

错误

$AC+BD = 2\sqrt{a^2+b^2}$。
当 $a=b=3$ 时，$\sqrt{a^2+b^2}$ 取得最小值 $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，此时 $AC+BD$ 最小值为 $6\sqrt{2}$。
题目说“最大值”，故错误。

选项 C 分析 (重点技巧)

正确

$$ \frac{1}{a} + \frac{9}{b} = \frac{1}{6}(\frac{1}{a} + \frac{9}{b})(a+b) $$ $$ = \frac{1}{6}(1 + \frac{b}{a} + \frac{9a}{b} + 9) = \frac{1}{6}(10 + \frac{b}{a} + \frac{9a}{b}) $$ 利用均值不等式：$\frac{b}{a} + \frac{9a}{b} \ge 2\sqrt{\frac{b}{a} \cdot \frac{9a}{b}} = 6$。 $$ \ge \frac{1}{6}(10+6) = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} $$

选项 D 分析

正确

面积 $S = ab \le (\frac{a+b}{2})^2 = (\frac{6}{2})^2 = 9$。
当且仅当 $a=b=3$ 时取等号。

正确答案：A, C, D

函数性质推导 (难点)

1. $f(x+2)$ 是偶函数 $\Rightarrow f(2+x) = f(2-x)$ (关于 $x=2$ 对称)。

2. $f(x) + f(2-x) = 0 \Rightarrow f(2-x) = -f(x)$ (关于 $(1,0)$ 对称)。

3. 综合 1 和 2：$f(x+2) = f(2-x) = -f(x)$。

4. 周期性：$f(x+4) = -f(x+2) = -(-f(x)) = f(x)$。故 $\mathbf{T=4}$。

选项 A 分析

错误

令 $x=0$，由 $f(x)+f(2-x)=0 \Rightarrow f(0)+f(2)=0$。
已知 $0 \le x \le 1$ 时 $f(x)=x^2-1$，则 $f(0) = -1$。
$\therefore -1 + f(2) = 0 \Rightarrow f(2) = 1$。选项说 0，错误。

选项 B 分析

正确

$x \in [0,1]$ 时，值域为 $[-1, 0]$。
$x \in [1,2]$ 时，由于关于点 $(1,0)$ 对称，值域为 $[0, 1]$。
由周期性和对称性，整个函数值域为 $[-1, 1]$。故 $f(x) \le 1$ 恒成立。

选项 C 分析

正确

前面性质推导中已得出 $f(x+2) = -f(x)$。正确。

选项 D 分析

错误

$\sqrt{70} \approx 8.36$。利用 $T=4$， $$f(\sqrt{70}) = f(\sqrt{70}-8)$$ 令 $x_0 = \sqrt{70}-8 \approx 0.36 \in [0,1]$。
$f(x_0) = x_0^2 - 1 = (\sqrt{70}-8)^2 - 1$
$= (70 - 16\sqrt{70} + 64) - 1 = \mathbf{133 - 16\sqrt{70}}$。
选项是 134，故错误。

正确答案：B, C