高中数学：函数综合压轴题 (Q19)

原题展示

19. (17分)
已知函数 $f(x) = mx^2 + (m-4m^2)x + 3m^3 - m^2 (m \ne 0)$。

(1) 当 $m=1$ 时，讨论 $f(x)$ 在 $[a, a+2]$ 上的最小值；

(2) 当 $m=1$ 时，求函数 $g(x) = f(x^2)$ 的单调区间；

(3) 讨论关于 $x$ 的不等式 $f(x) > 0$ 的解集。

第 (1) 问解析

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解析式与对称轴

当 $m=1$ 时，代入解析式： $$f(x) = x^2 + (1-4)x + 3-1 = x^2 - 3x + 2$$ 这是一个开口向上的抛物线。

对称轴： $x = -\frac{-3}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$

分类讨论：动区间 $[a, a+2]$

我们需要比较对称轴 $x=1.5$ 与区间的位置关系。

情形一：区间在对称轴右侧

即 $a > 1.5$。此时函数在 $[a, a+2]$ 上单调递增。

$\therefore f(x)_{min} = f(a) = a^2 - 3a + 2$

情形二：区间包含对称轴

即 $a \le 1.5 \le a+2 \Rightarrow -0.5 \le a \le 1.5$。

此时最小值为顶点纵坐标。

$\therefore f(x)_{min} = f(1.5) = 2.25 - 4.5 + 2 = -\frac{1}{4}$

情形三：区间在对称轴左侧

即 $a+2 < 1.5 \Rightarrow a < -0.5$。此时函数在 $[a, a+2]$ 上单调递减。

$\therefore f(x)_{min} = f(a+2) = (a+2)^2 - 3(a+2) + 2 = a^2 + a$

综上所述

$$f(x)_{min} = \begin{cases} a^2 + a, & a < -0.5 \\ -\frac{1}{4}, & -0.5 \le a \le 1.5 \\ a^2 - 3a + 2, & a > 1.5 \end{cases}$$

复合函数分析

$g(x) = f(x^2) = (x^2)^2 - 3(x^2) + 2 = x^4 - 3x^2 + 2$。
这是一个偶函数，关于 $y$ 轴对称。

令 $t = x^2 \ge 0$。
外层函数：$y = t^2 - 3t + 2$，对称轴 $t = 1.5$。
内层函数：$t = x^2$。

利用“同增异减”法则

1. 外层减区间 $t \in [0, 1.5]$

对应 $0 \le x^2 \le 1.5$，即 $x \in [-\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}]$。

$x \in [-\frac{\sqrt{6}}{2}, 0]$时，内减外减 $\to$ 单调递增
$x \in [0, \frac{\sqrt{6}}{2}]$时，内增外减 $\to$ 单调递减

2. 外层增区间 $t \in [1.5, +\infty)$

对应 $x^2 \ge 1.5$，即 $x \ge \frac{\sqrt{6}}{2}$ 或 $x \le -\frac{\sqrt{6}}{2}$。

$x \in (-\infty, -\frac{\sqrt{6}}{2}]$时，内减外增 $\to$ 单调递减
$x \in [\frac{\sqrt{6}}{2}, +\infty)$时，内增外增 $\to$ 单调递增

单调区间结论

单调递增区间： $(-\frac{\sqrt{6}}{2}, 0)$ 和 $(\frac{\sqrt{6}}{2}, +\infty)$

单调递减区间： $(-\infty, -\frac{\sqrt{6}}{2})$ 和 $(0, \frac{\sqrt{6}}{2})$

不等式化简与因式分解

求 $f(x) > 0$ 的解集。 $$mx^2 + (m-4m^2)x + 3m^3 - m^2 > 0$$ 提取 $m$ (注意 $m \ne 0$)： $$m [ x^2 + (1-4m)x + (3m^2-m) ] > 0$$

十字相乘法分解：
常数项 $3m^2-m = m(3m-1)$。
交叉验证：$-m - (3m-1) = -4m+1$，正好是中间项系数。
$\therefore m(x - m)(x - (3m-1)) > 0$

情形一：$m > 0$

不等式化为 $(x - m)(x - (3m-1)) > 0$。抛物线开口向上，解集在两根之外。
需比较两根 $x_1=m$ 和 $x_2=3m-1$ 的大小。

1. 当 $3m-1 > m \Rightarrow m > 0.5$ 时：
解集为 $\{x \mid x < m \text{ 或 } x > 3m-1\}$

2. 当 $3m-1 = m \Rightarrow m = 0.5$ 时：
$(x-0.5)^2 > 0 \Rightarrow x \ne 0.5$。
解集为 $\{x \mid x \ne 0.5\}$

3. 当 $3m-1 < m \Rightarrow 0 < m < 0.5$ 时：
解集为 $\{x \mid x < 3m-1 \text{ 或 } x > m\}$

情形二：$m < 0$

除以 $m$ 需变号，不等式化为 $(x - m)(x - (3m-1)) < 0$。
解集在两根之间。

此时 $m < 0$，显然 $m > 3m-1$ (因为 $2m < 1$)。

小根是 $3m-1$，大根是 $m$。

$\therefore$ 解集为 $\{x \mid 3m-1 < x < m\}$

解集综述

$\bullet$ 当 $m < 0$ 时，$(3m-1, m)$

$\bullet$ 当 $0 < m < 0.5$ 时，$(-\infty, 3m-1) \cup (m, +\infty)$

$\bullet$ 当 $m = 0.5$ 时，$(-\infty, 0.5) \cup (0.5, +\infty)$

$\bullet$ 当 $m > 0.5$ 时，$(-\infty, m) \cup (3m-1, +\infty)$