高中数学：函数压轴题深度解析 (Q18)

原题展示

18. (17分)
已知函数 $f(x) = x + \frac{a}{x+1} + b$。

(1) 若 $a=1, b=0$，求 $f(x)$ 的值域。

(2) 设集合 $A = \{x \mid f(x) = 0\}$，
$B = \{x \mid f(f(x)) = 0\}$。

(i) 证明：当 $a=0$ 时，存在唯一的 $b \in \mathbf{R}$，使得 $A=B \ne \varnothing$。

(ii) 证明：当 $a=1$ 时，存在唯一的 $b \in \mathbf{R}$，使得 $A=B \ne \varnothing$。

第 (1) 问解析

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写出解析式并变形

当 $a=1, b=0$ 时： $$f(x) = x + \frac{1}{x+1}$$ 为了使用基本不等式（对勾函数性质），我们需要凑项： $$f(x) = (x+1) + \frac{1}{x+1} - 1$$

定义域：$x \ne -1$

分类讨论求值域

当 $x+1 > 0$ 时 (即 $x > -1$)

利用均值不等式： $$(x+1) + \frac{1}{x+1} \ge 2\sqrt{(x+1)\cdot\frac{1}{x+1}} = 2$$ 当且仅当 $x+1=1 \Rightarrow x=0$ 时取等号。
$\therefore f(x) \ge 2 - 1 = 1$

当 $x+1 < 0$ 时 (即 $x < -1$)

$$-(x+1) + \left(-\frac{1}{x+1}\right) \ge 2$$ $\Rightarrow (x+1) + \frac{1}{x+1} \le -2$
$\therefore f(x) \le -2 - 1 = -3$

图象辅助理解

函数图象如右图所示（对勾函数平移）。

值域为：

$(-\infty, -3] \cup [1, +\infty)$

解析式化简

当 $a=0$ 时，函数变为一次函数： $$f(x) = x + 0 + b = x + b \quad (x \ne -1)$$ (原函数有分母 $x+1$，故定义域仍需 $x \ne -1$)

分析集合 A

$A = \{x \mid f(x) = 0\} = \{x \mid x + b = 0, x \ne -1\}$。
方程 $x + b = 0$ 的解为 $x = -b$。

如果要 $A \ne \varnothing$，则 $-b \ne -1$，即 $b \ne 1$。
此时 $A = \{-b\}$。

分析集合 B

$B = \{x \mid f(f(x)) = 0\}$。 $$f(f(x)) = f(x+b) = (x+b) + b = x + 2b$$ 需满足： 1. $x \ne -1$ (内层定义域) 2. $f(x) \ne -1 \Rightarrow x+b \ne -1 \Rightarrow x \ne -1-b$ (外层定义域)

方程 $x + 2b = 0$ 的解为 $x = -2b$。
若 $B \ne \varnothing$，则 $-2b \ne -1$ 且 $-2b \ne -1-b$。

证明 A = B

要使 $A=B$，则它们唯一的元素必须相等： $$-b = -2b$$ 解得 $\mathbf{b = 0}$。

检验 b=0：

$A$: 解为 $x=0$ (且 $0 \ne -1$ 合法)，$A=\{0\}$。
$B$: 解为 $x=0$。检验条件：$x \ne -1$ (0 $\ne$ -1) 且 $x \ne -1-0$ (0 $\ne$ -1)，均合法。$B=\{0\}$。

$\therefore A=B=\{0\} \ne \varnothing$。且 $b=0$ 唯一。

思路转换

当 $a=1$ 时，$f(x) = x + \frac{1}{x+1} + b$。
若 $A=B \ne \varnothing$，意味着：
“$f(x)=0$ 的解” 也是 “$f(f(x))=0$ 的解”。

逻辑推导

设 $x_0 \in A$，则 $f(x_0) = 0$。

若 $A=B$，则 $x_0 \in B$，即 $f(f(x_0)) = 0$。

代入 $f(x_0)=0$，得 $f(0) = 0$。

关键点：必须满足 $f(0) = 0$

求解参数 b

将 $x=0$ 代入 $f(x) = x + \frac{1}{x+1} + b$： $$f(0) = 0 + \frac{1}{0+1} + b = 1 + b$$ 令 $1+b=0$，解得 $\mathbf{b = -1}$。

充分性验证 (证明 A=B)

当 $b=-1$ 时，$f(x) = x + \frac{1}{x+1} - 1$。

1. 求 A：

$f(x)=0 \Rightarrow x-1 + \frac{1}{x+1} = 0 \Rightarrow \frac{x^2-1+1}{x+1}=0 \Rightarrow x^2=0 \Rightarrow x=0$。

定义域 $x \ne -1$，故 $A=\{0\}$。

2. 求 B：

$f(f(x))=0 \iff f(x) \in A \iff f(x)=0$。

这说明 $B$ 的元素满足 $f(x)=0$，即 $B$ 的解也是 $x=0$。

同时需满足定义域：$x \ne -1$ 且 $f(x) \ne -1$。

当 $x=0$ 时，$f(0)=0 \ne -1$，合法。

$\therefore A=B=\{0\} \ne \varnothing$，命题得证。