高中数学：幂函数综合题解析

原题

16. (15分) 已知幂函数 $f(x) = (6m - 2)x^m$。

(1) 求 $f(x)$ 的解析式；

(2) 求方程 $f(x) = f(x^2 - 2)$ 的解集；

(3) 判断函数 $g(x) = [f(x)]^4 + \frac{2}{[f(x)]^2}$ 在 $(0, 1)$ 上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论。

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第一问解析

当前页: 题目 16

分析：幂函数的定义

幂函数 $y = x^{\alpha}$ 的关键特征：$x^{\alpha}$ 前面的系数必须为 1。

Step 1: 列方程

由 $f(x) = (6m - 2)x^m$ 是幂函数，可得： $$6m - 2 = 1$$

Step 2: 求解 m

解得 $6m = 3$，即： $$m = \frac{1}{2}$$

结论

代入 $m$，得解析式为： $$\bbox[#fff, 10px, border: 3px solid #16a34a]{f(x) = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}}$$

Step 1: 写出 g(x) 解析式

因为 $f(x) = x^{\frac{1}{2}}$，所以： $$g(x) = (x^{\frac{1}{2}})^4 + \frac{2}{(x^{\frac{1}{2}})^2} = \mathbf{x^2 + \frac{2}{x}}$$ (定义域：$x \ne 0$)

Step 2: 结论与取值

结论：$g(x)$ 在 $(0, 1)$ 上单调递减。

证明：任取 $x_1, x_2 \in (0, 1)$，且 $x_1 < x_2$。

Step 3: 作差与变形

$$ \begin{aligned} g(x_1) - g(x_2) &= \left(x_1^2 + \frac{2}{x_1}\right) - \left(x_2^2 + \frac{2}{x_2}\right) \\ &= (x_1^2 - x_2^2) + \left(\frac{2}{x_1} - \frac{2}{x_2}\right) \\ &= (x_1 - x_2)(x_1 + x_2) + \frac{2(x_2 - x_1)}{x_1 x_2} \\ &= (x_1 - x_2)\left[ (x_1 + x_2) - \frac{2}{x_1 x_2} \right] \end{aligned} $$

Step 4: 符号分析 (难点)

因为 $0 < x_1 < x_2 < 1$：

1. $x_1 - x_2 < 0$

2. $x_1 + x_2 < 2$

3. $\frac{1}{x_1 x_2} > 1 \Rightarrow \frac{2}{x_1 x_2} > 2$

$\therefore (x_1 + x_2) - \frac{2}{x_1 x_2} < 0$

Step 5: 定号与结论

$$g(x_1) - g(x_2) = (\text{负}) \times (\text{负}) > 0$$ 即 $g(x_1) > g(x_2)$。

故 $g(x)$ 在 $(0, 1)$ 上单调递减

高中数学：幂函数综合应用