高中数学：集合解答题精选解析 (Q15)

原题展示

15. (13分)
已知集合 $A = \{x \mid x^2 - 4x < 12\}$，
$B = \{x \mid -6 < x < 2m\}$。

(1) 当 $m=2$ 时，求 $A \cap B, \complement_{\mathbf{R}}(A \cup B)$；

(2) 若 $A \cap B = \varnothing$，求 $m$ 的取值范围。

第 (1) 问解析

当前页: 题目 15

$$x^2 - 4x < 12$$ $$x^2 - 4x - 12 < 0$$ 因式分解： $$(x - 6)(x + 2) < 0$$ 解得：

$A = (-2, 6)$

将 $m=2$ 代入 $B = \{x \mid -6 < x < 2m\}$：

$B = \{x \mid -6 < x < 4\} = (-6, 4)$

数轴示意图：

-6

-2

A: (-2, 6) B: (-6, 4)

观察数轴，两者的公共部分（重叠区域）是从 -2 到 4：

$A \cap B = \{x \mid -2 < x < 4\} = (-2, 4)$

1. 先求并集 $A \cup B$：
取所有覆盖的范围，即从 -6 到 6。
$\therefore A \cup B = (-6, 6)$

2. 再求补集 $\complement_{\mathbf{R}}(A \cup B)$：
实数轴 $\mathbf{R}$ 上扣掉 $(-6, 6)$，剩下的部分包括端点。

$\{x \mid x \le -6 \text{ 或 } x \ge 6\}$
即 $(-\infty, -6] \cup [6, +\infty)$

已知 $A = (-2, 6)$。
$B = \{x \mid -6 < x < 2m\}$。B 的左端点是 -6，右端点是 $2m$。

要使 $A \cap B = \varnothing$，有两种情形：

若 $B = \varnothing$，则右端点 $\le$ 左端点： $$2m \le -6$$

$\Rightarrow m \le -3$

此时交集必为空，满足条件。

若 $B \ne \varnothing$ (即 $m > -3$)，要使 B 与 $A=(-2, 6)$ 不相交。
因为 B 的起点是 -6 (在 A 的左边)，所以 B 只能位于 A 的左侧。

-6

-2

需满足 B 的右端点 $2m$ 不超过 A 的左端点 -2： $$2m \le -2$$

$\Rightarrow m \le -1$

结合前提 $m > -3$，得 $-3 < m \le -1$。

将两部分取并集：
$m \le -3$ 或 $-3 < m \le -1$

$\therefore m \le -1$

即 $m$ 的取值范围是 $(-\infty, -1]$