题目 12 解析
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第一步：确定单调性方向
观察第一段函数（$x < \frac{1}{2}$）： $$y = -\frac{17}{6} - x$$ 斜率为 $-1 < 0$，所以这是一个减函数。
结论：$f(x)$ 必须在 $\mathbf{R}$ 上单调递减。
第二步：段内单调性条件
中间段 ($\frac{1}{2} \le x < 2$)
$y = \frac{a}{x} - 6$
反比例函数模型。要在 $(0, +\infty)$ 上递减，系数必须为正。
$\therefore a > 0$ ①
右边段 ($x \ge 2$)
$y = -x^2 - ax + 1$
开口向下的抛物线，对称轴 $x = -\frac{a}{2}$。
需在 $[2, +\infty)$ 递减，则对称轴需在区间左侧。
$\Rightarrow -\frac{a}{2} \le 2 \Rightarrow a \ge -4$
(结合 $a>0$，此条件自然满足)
第三步：衔接点“前高后低”
为了保证整体递减，断点处左段的终值 $\ge$ 右段的始值。
衔接点 1 ($x = \frac{1}{2}$)
$$f(\frac{1}{2}^-) \ge f(\frac{1}{2})$$
$$-\frac{17}{6} - \frac{1}{2} \ge \frac{a}{1/2} - 6$$
$$-\frac{20}{6} \ge 2a - 6 \quad \Rightarrow \quad -\frac{10}{3} \ge 2a - 6$$
$$2a \le 6 - \frac{10}{3} = \frac{8}{3} \quad \Rightarrow \quad \mathbf{a \le \frac{4}{3}} \quad ②$$
衔接点 2 ($x = 2$)
$$f(2^-) \ge f(2)$$
$$\frac{a}{2} - 6 \ge -2^2 - 2a + 1$$
$$\frac{a}{2} - 6 \ge -2a - 3$$
$$\frac{5a}{2} \ge 3 \quad \Rightarrow \quad 5a \ge 6 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{a \ge \frac{6}{5}} \quad ③$$
第四步：求交集
综合 ① ② ③：
$a > 0$
$\cap$
$a \le \frac{4}{3}$
$\cap$
$a \ge \frac{6}{5}$
$\left[\frac{6}{5}, \frac{4}{3}\right]$
注意：区间是闭区间