高中数学：五道精选选择题解析

分析

集合 $A$ 的元素形式为 $\sqrt{2}m + \sqrt{3}$，其中 $m$ 必须是整数。我们需要判断选项中的数是否能写成这种形式。

逐项验证

A 令 $\sqrt{2}m + \sqrt{3} = \sqrt{2} \Rightarrow \sqrt{2}(m-1) = -\sqrt{3} \Rightarrow m-1 = -\sqrt{1.5}$，不是整数。

B 令 $\sqrt{2}m + \sqrt{3} = \sqrt{2} + \sqrt{3} \Rightarrow \sqrt{2}m = \sqrt{2} \Rightarrow m=1 \in \mathbf{Z}$。属于集合A，选项说 $\notin$，故错误。

C 令 $\sqrt{2}m + \sqrt{3} = \sqrt{3} \Rightarrow \sqrt{2}m = 0 \Rightarrow m=0 \in \mathbf{Z}$。正确。

D 令 $\sqrt{2}m + \sqrt{3} = \sqrt{3} - \sqrt{2} \Rightarrow m=-1 \in \mathbf{Z}$。属于A，选项说 $\notin$，故错误。

正确答案：C

命题否定的规则

全称量词 $\forall$ 与存在量词 $\exists$ 互换，结论加以否定。
原命题：$\exists a \in \mathbf{R}, p(a)$
否定：$\forall a \in \mathbf{R}, \neg p(a)$

具体分析

1. 把 $\exists a \in \mathbf{R}$ 改为 $\forall a \in \mathbf{R}$。

2. 否定结论“是增函数”。注意：“是增函数”的否定是“不是增函数”，不能直接说是“减函数”（因为函数可能不增不减，或既不增也不减）。

结论

结合两点：$\forall a \in \mathbf{R}, f(x)$ 不是增函数。

正确答案：D

核心概念：函数的“括号内”范围

若 $f(x)$ 定义域为 $D$，则 $f(\square)$ 中的 $\square$ 必须满足 $\square \in D$。

计算过程

已知 $f(x)$ 定义域为 $(0, 2) \cup (2, 6)$。

对于 $f(2x)$，其自变量 $2x$ 须满足：

$$0 < 2x < 2 \quad \text{或} \quad 2 < 2x < 6$$

两边同时除以 2：

$$0 < x < 1 \quad \text{或} \quad 1 < x < 3$$

正确答案：B

题目条件分析

已知 $a > b^2 > c$。需找出错误的一项。
隐含信息：$b^2 \geqslant 0$，所以 $a > 0$。

逐项排查

B $a > b^2 \geqslant 0 \Rightarrow a > 0$。正确。

C 由 $a > b^2$ 且 $b^2 > c$，传递性得 $a > c$。正确。

D 分析符号：
$\because b^2 < a \Rightarrow b^2 - a < 0$
$\because b^2 > c \Rightarrow b^2 - c > 0$
$\therefore$ 异号相乘小于 0。正确。

A $a > b^2$ 是否蕴含 $a > b$？
反例：取 $a=0.5, b=0.6, c=0$。
$b^2 = 0.36$。满足 $0.5 > 0.36 > 0$。
但 $a(0.5) < b(0.6)$。故A错误。

正确答案：A

函数性质分析

$$f(x) = x^3(4-x^2) = 4x^3 - x^5$$ 定义域 $[-2, 2]$。

奇偶性：$f(-x) = (-x)^3(4-(-x)^2) = -x^3(4-x^2) = -f(x)$。奇函数，图像关于原点对称。
零点：$x^3(4-x^2)=0 \Rightarrow x=0, x=\pm 2$。图像必过 $(-2,0), (0,0), (2,0)$。

区间符号与极值

区间符号：

当 $x \in (0, 2)$ 时，$x^3 > 0, 4-x^2 > 0 \Rightarrow f(x) > 0$。

当 $x \in (-2, 0)$ 时，$x^3 < 0, 4-x^2 > 0 \Rightarrow f(x) < 0$。

结论：图像在 $y$ 轴右侧上方，左侧下方。且是“从负变正”穿过原点。

图像识别

符合“奇函数”、“过原点”、“右正左负”特征的只有 B 选项。
(A图左右震荡过多，C图左侧在上方，D图是偶函数)